Question

9．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等邊三角形，AC⊥BC，且AC=BC=2，O、D分別是AB，PB的中點．
（1）求證：PA∥平面COD；
（2）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）由O、D分別是AB，PB的中點，得OD∥AP，即可得PA∥平面COD．
（2）連接OP，得OP⊥面ABC，且OP=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{6}$．即可得三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}{s}_{ABC}×OP=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×\sqrt{6}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

解答 解：（1）∵O、D分別是AB，PB的中點，∴OD∥AP
又PA?平面COD，OD?平面COD
∴PA∥平面COD．
（2）連接OP，由△PAB是等邊三角形，則OP⊥AB
又∵平面PAB⊥平面ABC，∴OP⊥面ABC，且OP=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{6}$．
∴三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}{s}_{ABC}×OP=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×\sqrt{6}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了空間線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．