Question

10．若S_n為等差數列{a_n}的前n項和，且a₁=1，S₁₀=55．記b_n=[lna_n]，其中[x]表示不超過x的最大整數，如[0.9]=0，[lg99]=1．則數列{b_n}的前2017項和為4944．

Answer 1

分析 設等差數列{a_n}的公差為d，a₁=1，S₁₀=55．可得55=10+$\frac{10×9}{2}$×d，解得d，可得a_n=n．由b_n=[lna_n]，可得n=1，2，…9時，b_n=0；n=10，11，…，99，可得b_n=1．n=100，101，…，999，可得b_n=2．n=1000，1001，…，2017，可得b_n=3．即可得出．

解答 解：設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₁=1，S₁₀=55．
∴55=10+$\frac{10×9}{2}$×d，解得d=1．
∴a_n=1+n-1=n．
∵b_n=[lna_n]，∴n=1，2，…9時，b_n=0；
n=10，11，…，99，可得b_n=1．
n=100，101，…，999，可得b_n=2．
n=1000，1001，…，2017，可得b_n=3．
∴數列{b_n}的前2017項和=0×9+1×90+2×900+3×1018
=4944．
故答案為：4944．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、取整函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．