Question

15．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE，設PA=1，AD=2．
（1）求平面BPC的法向量；
（2）求二面角B-PC-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD．利用線面垂直的性質定理與判定定理可得PC⊥BD，BD⊥平面PAC，即可證明BD⊥AC．又底面ABCD為矩形，可得ABCD為正方形．建立如圖所示的空間直角坐標系．設平面BPC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即可得出平面BPC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$．
（2）平面PAC的法向量為：$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0）．設二面角B-PC-A=θ，由圖可知：θ為銳角．則cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BD}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BD}|}$，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$，即可得出．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD．
∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，∴PC⊥BD．
又PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC，AC?平面PAC，
∴BD⊥AC．
又底面ABCD為矩形，∴ABCD為正方形．
建立如圖所示的空間直角坐標系．
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），
D（0，2，0）．
$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，1），
設平面BPC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-2x+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，0，2．）．
∴平面BPC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，2．）．
（2）平面PAC的法向量為：$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0）．
設二面角B-PC-A=θ，由圖可知：θ為銳角．
則cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BD}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{5}×2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴cosθ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴sinθ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=3．即二面角B-PC-A的正切值為3．

點評 本題考查了空間位置關系、法向量的夾角、數量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．