Question

5．已知A（0，1），B、C為橢圓x²+my²=m（m＞1）上的三個不同點，AB⊥AC．
（Ⅰ）當橢圓長軸長為4時，求橢圓的離心率e；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值f（m）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化橢圓方程化為標準形式，結合題意可得$2\sqrt{m}=4$，求得m值，則橢圓的離心率可求；
（Ⅱ）不妨設直線AB為y=kx+1（k＞0）．聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求得B，C的坐標，得到|AB|，|AC|，寫出△ABC的面積，換元后分類討論求最值．

解答 解：（Ⅰ）橢圓方程化為$\frac{{x}^{2}}{m}+{y}^{2}=1$．
由題意知：$2\sqrt{m}=4$，得m=4．
∴a=2，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅱ）不妨設直線AB為y=kx+1（k＞0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+m{y}^{2}=m}\end{array}\right.$，得（1+mk²）x²+2mkx=0．
解得：x=0或x=$\frac{-2mk}{1+m{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\frac{2mk}{1+m{k}^{2}}\sqrt{1+{k}^{2}}$，同理可得：|AC|=$\frac{\frac{2m}{k}}{1+\frac{m}{{k}^{2}}}\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{2{m}^{2}•\sqrt{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}}{1+{m}^{2}+m（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$，令$\sqrt{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}=t$，t≥2．
∴${S}_{△ABC}=\frac{2{m}^{2}t}{1+{m}^{2}+m（{t}^{2}-2）}=\frac{2{m}^{2}}{mt+\frac{（m-1）^{2}}{t}}$．
①當$\frac{m-1}{\sqrt{m}}≤2$，即$1＜m≤3+2\sqrt{2}$時，$[mt+\frac{（m-1）^{2}}{t}]_{min}=2m+\frac{（m-1）^{2}}{2}$，
∴f（m）=$\frac{4{m}^{2}}{（m+1）^{2}}$；
②當$\frac{m-1}{\sqrt{m}}$＞2，即m＞$3+2\sqrt{2}$時，$[mt+\frac{（m-1）^{2}}{t}]_{min}=2\sqrt{m（m-1）^{2}}$．
∴$f（m）=\frac{{m}^{2}}{\sqrt{m（m-1）^{2}}}$．
故f（m）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4{m}^{2}}{（m+1）^{2}}，1＜m≤3+2\sqrt{2}}\\{\frac{{m}^{2}}{\sqrt{m（m-1）^{2}}}，m＞3+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線位置關系的應用，訓練了利用換元法求函數(shù)的最值，屬難題．