Question

9．設函數f（x）=4x³+$\frac{1}{（1+x）^{2}}$，x∈[0，1]，證明：
（Ⅰ）f（x）≥1-2x+3x²；
（Ⅱ）$\frac{2}{3}$＜f（x）≤$\frac{17}{4}$．

Answer 1

分析 （I）構造函數g（x）=（1+x）²（1-2x+3x²-4x³），判斷g（x）的單調性得出最大值，化簡即可得出結論；
（II）判斷f（x）的單調性即可f（x）的最大值，利用（I）得出f（x）＞$\frac{2}{3}$．

解答 證明：（I）令g（x）=（1+x）²（1-2x+3x²-4x³），x∈[0，1]，
則g′（x）=-20（1+x）x³≤0，當且僅當x=0時取等號，
∴g（x）在[0，1]上單調遞減，故g（x）≤g（0）=1，
∴（1+x）²（1-2x+3x²-4x³）≤1，
∴$\frac{1}{（1+x）^{2}}+4{x}^{3}$≥1-2x+3x²，
即f（x）≥1-2x+3x²．
（II）由（I）知f（x）≥1-2x+3x²=3（x-$\frac{1}{3}$）²≥$\frac{2}{3}$，
∵兩處等號不能同時成立，
∴f（x）＞$\frac{2}{3}$．
f′（x）=12x²-$\frac{2}{（1+x）^{3}}$=$\frac{2[6{x}^{2}（1+x）^{3}-1]}{（1+x）^{3}}$，
令h（x）=6x²（1+x）³-1，則f（x）在[0，1]上單調遞增，
∵h（0）=-1，h（1）=47＞0，
∴h（x）在（0，1）上存在唯一一個零點x₀，
∴當0＜x＜x₀時，f′（x）＜0，當x₀＜x＜1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，1]上先減后增，
又f（0）=1，f（1）=$\frac{17}{4}$，
∴f（x）≤f（1）=$\frac{17}{4}$．
綜上，$\frac{2}{3}＜$f（x）≤$\frac{17}{4}$．

點評 本題考查了不等式證明與函數恒成立問題，函數單調性判斷與最值計算，屬于中檔題．