Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{4}x+x-2（x＞0）}\\{x-（\frac{1}{4}）^{x}+2（x≤0）}\end{array}\right.$，若f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x₁、x₂，則|x₁-x₂|=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{3}{2}$+ln2

Answer 1

分析 作出y=log₄x，y=4^x和y=2-x的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱關(guān)系即可得出x₂-x₁的值．

解答 解：當(dāng)x≤0時(shí)，令f（x）的零點(diǎn)為x₁，則x₁+2=（$\frac{1}{4}$）${\;}^{{x}_{1}}$，∴4${\;}^{-{x}_{1}}$=-（-x₁）+2，
∴-x₁是方程4^x=2-x的解，
當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)f（x）的零點(diǎn)為x₂，則log₄x₂=2-x₂，
∴x₂是方程log₄x=2-x的解．
作出y=log₄x，y=4^x和y=2-x的函數(shù)圖象，如圖所示：

∵y=log₄x和y=4^x關(guān)于直線y=x對(duì)稱，y=2-x關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴A，B關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=2-x}\end{array}\right.$得C（1，1）．
∴x₂-x₁=2．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．