Question

4．已知數列{a_n}的各項均為正數，且前n項之和S_n滿足6S_n=a_n²+3a_n+2，且a₂、a₄、a₉成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列b_n=2ⁿa_n的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）6S_n=a_n²+3a_n+2，可得n=1時，6a₁=${a}_{1}^{2}+3{a}_{1}$+2，解得a₁=1或2．n≥2時，6a_n=6（S_n-S_n-1），化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，由題意可得：數列{a_n}的各項均為正數，可得a_n-a_n-1=3，當a₁=1時，可得a_n=3n-2．當a₁=2時，a_n=3n-1．分別驗證是否滿足：${a}_{4}^{2}$=a₂•a₉．即可得出：a_n．
（Ⅱ）數列b_n=2ⁿa_n=（3n-2）2ⁿ．再利用錯位相減法即可得出．

解答 解：（I）∵6S_n=a_n²+3a_n+2，∴n=1時，6a₁=${a}_{1}^{2}+3{a}_{1}$+2，解得a₁=1或2．
n≥2時，6a_n=6（S_n-S_n-1）=a_n²+3a_n+2-$（{a}_{n-1}^{2}+3{a}_{n-1}+2）$，化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
由題意可得：數列{a_n}的各項均為正數，∴a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=3，
當a₁=1時，a_n=1+3（n-1）=3n-2．滿足：${a}_{4}^{2}$=a₂•a₉．
當a₁=2時，a_n=2+3（n-1）=3n-1．不滿足：${a}_{4}^{2}$=a₂•a₉．
綜上可得：a_n=3n-2．
（Ⅱ）數列b_n=2ⁿa_n=（3n-2）2ⁿ．
∴數列b_n=2ⁿa_n的前n項和T_n=2+4×2²+7×2³+…+（3n-2）•2ⁿ，
∴2T_n=2²+4×2³+…+（3n-5）•2ⁿ+（3n-2）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-2）•2ⁿ⁺¹=2+3×$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（3n-2）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=10+（3n-5）•2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、錯位相減法、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．