Question

13．函數y=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx在區間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的值域是[0，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 化函數y為正弦型函數，根據正弦函數的單調性求出函數y在區間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的值域．

解答 解：函數y=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
當x∈$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$時，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x+$\frac{2π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴函數y在區間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的值域是[0，$\frac{3}{2}$]．
故答案為：[0，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查了正弦函數的圖象與性質的應用問題，也考查了三角恒等變換的問題，是基礎題．