Question

5．函數f（x）的導函數為f′（x），對?x∈R，f′（x）＞f（x）都有成立，若f（1）=e，則不等式f（x）＞e^x的解是（　　）

• A． x＞ln4
• B． 0＜x＜ln4
• C． x＞1
• D． 0＜x＜1

Answer 1

分析 構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導數可判斷g（x）的單調性，再根據f（1）=e，求得g（1）=1，繼而求出答案．

解答 解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）-f（x）＞0，于是有（ $\frac{f（x）}{{e}^{x}}$）′＞0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則有g（x）在R上單調遞增，
∵不等式f（x）＞e^x，
∴g（x）＞1，
∵f（1）=e，
∴g（1）=1，
∴x＞1，
故選：C．

點評 本題考查導數的運算及利用導數研究函數的單調性，屬中檔題，解決本題的關鍵是根據選項及已知條件合理構造函數，利用導數判斷函數的單調性．