Question

17．已知點P（3，-4）是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$漸近線上的一點，E，F是左，右兩個焦點，若$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{FP}=0$，則雙曲線方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{18}-\frac{y^2}{32}=1$
• B． $\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{18}=1$
• C． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$
• D． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Answer 1

分析 由點在漸近線可得4a=3b，由數量積為0可得c²=25，結合a²+b²=c²=25，解之可得答案．

解答 解：由題意可得點P（3，-4）是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$漸近線上的一點，可得4a=3b，
因為E，F分別是雙曲線的左、右焦點，故E（-c，0），F（c，0），$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{FP}=0$，
故c²=25，
又a²+b²=c²=25，結合4a=3b可解得a=3，b=4，
故雙曲線的方程為：$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，涉及數量積的運算，屬中檔題．