Question

16．已知函數f（x）=（ax-a）e^x（a∈R，且a≠0，e為自然對數的底數）的導函數為f′（x）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）設曲線y=f（x）上任意一點的切線的傾斜角為α，當a=e時，求α的取值范圍；
（3）若a=0，g（x）=f′（x）-f（x）-3x²，求函數g（x）的零點個數．

Answer 1

分析 （1）利用函數的導數f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應區間為增區間；
若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應區間為減區間．
（2）利用可導函數在某點處的導數是該點處切線的斜率k，k=f'（x）=ex•e^x，通過求函數f'（x）=ex•e^x值域，從而求得斜率k的范圍，在由k=tanα，求得α的取值范圍．
（3）通過g'（x）=e^x-6x，得到函數的單調性，求出函數的最值（極值）的正負，從而得到函數與X軸的交點個數，也就是零點個數．

解答 解：（1）當a＞0時，f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），f（x）的單調遞減區間為（-∞，0），
當a＜0時，f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）；
（2）曲線y=f（x）上任意一點的切線的斜率k=f'（x）=ex•e^x，令F（x）=ex•e^x，則F'（x）=ee^x•（x+1），由F'（x）=0，得x=-1，列表如下：

x	（-∞，-1）	（-1，+∞）
F'（x）	-	+
F（x）	↓	↑

所以k_min=F（-1）=-1，又當x→+∞時，F（x）→+∞，
所以k∈[-1，+∞），又因為k=tanα，且α∈（0，π），
所以α的取值范圍是$[{0，\frac{π}{2}}）∪[{\frac{3π}{4}，π}）$；
（3）解法1：g（x）=e^x-3x²，從而g'（x）=e^x-6x，令h（x）=e^x-6x，則h'（x）=e^x-6，
由h'（x）=0，得x=ln6，列表如下：

x	（-∞，0）	（0，2）	（2，+∞）
h'（x）	+	-	+
h（x）	↑	↓	↑

所以h（x）_min=g'（x）_min=g'（ln6）=6（1-ln6）＜0，
且當x→-∞及x→+∞時，g'（x）→+∞，所以g'（x）有且只有兩個零點，
又g'（0）=1＞0，g'（1）=e-6＜0，g'（2）=e²-12＜3²-12＜0，g'（3）=e³-18＞2.7³-18＞0，
所以，g'（x）的兩個零點x₁，x₂滿足x₁∈（0，1），x₂∈（2，3），
結合g'（x）的圖象可得如下表格，

x	（-∞，x1）	（x1，x2）	（x2，+∞）
g'（x）	+	-	+
g（x）	↑	↓	↑

所以，g（x）的極大值為g（x₁）＞g（0）=1＞0，極小值為$g（{x_2}）＜g（2）={e^2}-12＜0$，
且當x→-∞及x→+∞時，g（x）→+∞（可作出g（x）的大致圖象）
從而，g（x）在R上有且只有三個零點．
解法2：驗證知，g（x）的零點不為零，由g（x）=e^x-3x²=0得$3=\frac{e^x}{x^2}$，
令$h（x）=\frac{e^x}{x^2}（{x≠0}）$，則$h'（x）=\frac{{{e^x}（{x-2}）}}{x^3}$，由h'（x）=0，得x=2，列表如下：

x	（-∞，0）	（0，2）	（2，+∞）
h'（x）	+	-	+
h（x）	↑	↓	↑

所以，h（x）的極小值為$h（2）=\frac{e^2}{4}＜\frac{3^2}{4}＜3$，又h（x）＞0恒成立，
且當x→-∞時，x²→+∞，e^x→0，所以h（x）→0，
當x→0時，x²→0，e^x→1，所以h（x）→+∞，
當x→+∞時，x²→+∞，e^x→+∞，且e^x的增長速度遠遠大于x²的增長速度，
所以h（x）→+∞，
從而，作出h（x）的大致圖象如下：

由圖知，h（x）的圖象與直線y=3有三個交點，
從而，h（x）在R上有且只有三個零點．

點評 本題第（1）問考查了函數的導數f′（x）的正負與函數單調性的關系，第（2）考查了導函數的幾何意義，第（3）問通過求出函數的最值（極值），通過函數草圖得到函數與X軸的交點個數，也就是零點個數，屬于中檔題．