Question

8．如圖，某流動海洋觀測船開始位于燈塔B的北偏東$θ（0＜θ＜\frac{π}{2}）$方向，且滿足$2{sin^2}（\frac{π}{4}+θ）-\sqrt{3}$cos2θ=1，AB=AD，在接到上級命令后，該觀測船從A點位置沿AD方向在D點補充物資后沿BD方向在C點投放浮標，使得C點與A點的距離為4$\sqrt{3}$km，
（1）求θ的值；
（2）求浮標C到補給站D的距離．

Answer 1

分析 （1）利用條件2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos2θ=1，0＜θ＜$\frac{π}{2}$，求出θ；
（2）求出AD+DC=BC，在△ABC中，由正弦定理可得結論．

解答 解：（1）∵2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos2θ=1，
∴2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-1=$\sqrt{3}$cos2θ，
∴-cos（$\frac{π}{2}$+2θ）=$\sqrt{3}$cos2θ，
∴sin2θ-$\sqrt{3}$cos2θ=0
∴2sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=0，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$；
（2）由（1）∠ABC=$\frac{π}{3}$，
∵AB=AD，∴AB=AD=BD，
∴AD+DC=BC=8，
在△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC=$\frac{8sin\frac{π}{3}}{4\sqrt{3}}$，∴∠BAC=$\frac{π}{2}$．
解直角三角形ABC，可得AB=4，所以CD=4，即浮標C到補給站D的距離為4km．

點評 本題考查三角函數公式的運用，考查正弦定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．