Question

19．已知數列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}為等比數列，且a₂=16，a₄=96，則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（n+2）•{2}^{n}，q=2}\\{（n+2）•（-2）^{n}，q=-2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 設等比數列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}的公比為q，由a₂=16，a₄=96，利用等比數列的通項公式可得$\frac{96}{4+2}$=$\frac{16}{2+2}$×q²，解得q，進而得出答案．

解答 解：設等比數列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}的公比為q，∵a₂=16，a₄=96，
∴$\frac{96}{4+2}$=$\frac{16}{2+2}$×q²，解得q=±2．
∴當q=2時，$\frac{{a}_{n}}{n+2}$=$\frac{16}{2+2}$×2^n-2=2ⁿ，∴a_n=（n+2）•2ⁿ．
同理可得：當q=-2時，a_n=（n+2）•（-2）ⁿ．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（n+2）•{2}^{n}，q=2}\\{（n+2）•（-2）^{n}，q=-2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{（n+2）•{2}^{n}，q=2}\\{（n+2）•（-2）^{n}，q=-2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．