Question

11．已知tanα，tanβ是方程2x²+3x-7=0的兩個實根．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求$\frac{cos（α-β）}{sin（α+β）}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據根與系數之間的關系得到tanα+tanβ和tanαtanβ的值，利用兩角和的正切公式進行計算即可；
（2）利用根與系數的關系、兩角和差的正弦余弦公式、同角三角函數基本關系式即可得出．

解答 解：（1）∵tanα，tanβ是方程2x²+3x-7=0的兩個實根，
∴tanα+tanβ=-$\frac{3}{2}$，tanαtanβ=-$\frac{7}{2}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{1+\frac{7}{2}}$=$\frac{-3}{2+7}$=-$\frac{1}{3}$；
（2）∵tanα，tanβ是方程2x²+3x-7=0的兩個實根，
∴tanα+tanβ=-$\frac{3}{2}$，tanαtanβ=-$\frac{7}{2}$，
∴$\frac{sin（α+β）}{cos（α-β）}=\frac{sinαcosβ+cosαsinβ}{cosαcosβ+sinαsinβ}$=$\frac{tanα+tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{1-\frac{7}{2}}=\frac{3}{5}$．
∴$\frac{cos（α-β）}{sin（α+β）}$=$\frac{5}{3}$．

點評 本題主要考查兩角和的正切公式的應用，考查了兩角和差的正弦余弦公式、同角三角函數基本關系式，利用根與系數之間的關系求出tanα+tanβ，tanαtanβ的值是解決本題的關鍵，屬于中檔題．