Question

6．已知命題p：方程x²-ax+2=0在x∈（0，1）上有解．命題q：不等式x²+2ax+2a≥0恒成立，若p∨q為真命題，且p∧q為假命題．求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出命題p，q為真時，實數a的取值范圍．若p∨q為真命題，且p∧q為假命題．則命題p，q一真一假，進而得到答案．

解答 解：方程x²-ax+2=0的兩根之積為2，
令f（x）=x²-ax+2，
故方程x²-ax+2=0在x∈（0，1）上不可能有兩個解，
故方程x²-ax+2=0在x∈（0，1）上有解時，
f（0）•f（1）=2（3-a）＜0，
解得：a＞3，
即命題p：a＞3，
不等式x²+2ax+2a≥0恒成立時，△=4a²-8a≤0，
解得：0≤a≤2，
即命題q：0≤a≤2，
若p∨q為真命題，且p∧q為假命題．
則命題p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}a＞3\\ a＜0，或a＞2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a≤3\\ 0≤a≤2\end{array}\right.$，
解得：0≤a≤2或a＞3．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了指數函數和對數函數的圖象和性質，復合命題，難度中檔．