Question

已知函數f（x）=

x2-x+1

x-1

(x≥2)，g(x)=ax（a＞1，x≥2）．
①若?x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=m成立，則實數m的取值范圍為

 

；
②若?x₁∈[2，+∞），?x₂∈[2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數最值的應用

專題：函數的性質及應用

分析：①根據分式函數的性質結合基本不等式的性質即可求則實數m的取值范圍；
②求出兩個函數的最值，根據最值之間的關系即可得到結論．

解答： 解：①f（x）=

x2-x+1

x-1

=

(x-1)2+(x-1)+1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+1，
當x≥2時，函數f（x）單調遞增，則f（x）≥f（2）=3，
若?x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=m成立，
則m≥3，
故實數m的取值范圍為[3，+∞）；
②g（x）=a^x，若a＞1，則g（x）為增函數，當x≥2時，g（x）≥a²，
若?x₁∈[2，+∞），?x₂∈[2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），
則a²x≤3，解得1＜a≤

3

，
故實數a的取值范圍為 （1，

3

]，
故答案為：[3，+∞）； （1，

3

]

點評：本題主要考查函數最值的應用，根據函數的單調性之間的關系是解決本題的關鍵．