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2.如圖,橢圓C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長等于C1的長半軸長.C2與y軸的交點為M,過坐標原點O的直線l與C2相交于點A,B,兩直線MA,MB分別與C1相交于點D,E.
①曲線C1,C2的方程分別為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1,y=x2-1;
②MD⊥ME;
③若橢圓C1的左右頂點分別為P、Q兩點,則kDP•kDQ=-$\frac{1}{4}$;
④記△MAB,△MDE的面積分別為S1,S2,則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值為$\frac{25}{64}$.
以上列說法正確的有(  )
A.1個B.2個C.3個D.4個

分析 ①先利用離心率得到一個關于參數的方程,再利用x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長等于C1的長半軸長得另一個方程,兩個方程聯立即可求出參數進而求出C1,C2的方程;
②把直線l的方程與拋物線方程聯立可得關于點A、B坐標的等量關系,再代入求出kMA•kMB=-1,即可證明:MD⊥ME;
③直接利用斜率公式,即可得出結論;
④先把直線MA的方程與拋物線方程聯立可得點A的坐標,再利用弦長公式求出|MA|,同樣的方法求出|MB|進而求出S1,同理可求S2.再代入已知就可知道是否存在直線l滿足題中條件了.

解答 解:①由題得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,從而a=2b,又2$\sqrt{b}$=a,解得a=2,b=1,
故C1,C2的方程分別為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1,y=x2-1,故正確.
②由題得,直線l的斜率存在,設為k,則直線l的方程為y=kx,
與y=x2-1聯立得x2-kx-1=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個實根,
于是x1+x2=k,x1x2=-1,又點M的坐標為(0,-1),
所以kMA•kMB=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}$=-1.
故MA⊥MB,即MD⊥ME,正確.
③設D(x,y),P(-2,0),Q(2,0),則kDP•kDQ=$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$,正確;
④設直線MA的斜率為k1,則直線MA的方程為y=k1x-1.
與y=x2-1聯立解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x={k}_{1}}\\{y={{k}_{1}}^{2}-1}\end{array}\right.$.
則點A的坐標為(k1,k12-1).
又直線MB的斜率為-$\frac{1}{{k}_{1}}$,同理可得點B的坐標為(-$\frac{1}{{k}_{1}}$,$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$-1).
于是S1=$\frac{1}{2}$|MA|•|MB|=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•|k1|•$\sqrt{1+\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}}$•|-$\frac{1}{{k}_{1}}$|=$\frac{1+{{k}_{1}}^{2}}{2|{k}_{1}|}$.
由y=k1x-1與橢圓方程聯立得(1+4k12)x2-8k1x=0.
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}\\{y=\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}\end{array}\right.$,則點D的坐標為($\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$,$\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$).
又直線ME的斜率為-$\frac{1}{{k}_{1}}$.同理可得點E的坐標為(-$\frac{8{k}_{1}}{4+{{k}_{1}}^{2}}$,$\frac{4-{{k}_{1}}^{2}}{4+{{k}_{1}}^{2}}$).
于是S2=$\frac{1}{2}$|MD|•|ME|=$\frac{32(1+{{k}_{1}}^{2})|{k}_{1}|}{(1+4{{k}_{1}}^{2})({{k}_{1}}^{2}+4)}$.
故 $\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{64}$(4k12+$\frac{4}{{{k}_{1}}^{2}}$+17)≥$\frac{25}{64}$,所以$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最小值為$\frac{25}{64}$,不正確.
故選C.

點評 本題是對橢圓與拋物線以及直線與拋物線和直線與橢圓的綜合問題的考查.是一道整理過程很麻煩的題,需要要認真,細致的態度才能把題目作好.

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