Question

10．證明下面兩個結論：
（ I）若|a|＞1，|b|＞1，則|1-ab|＞|a-b|；
（Ⅱ）若a，b，m，n∈R⁺，a+b=1，則（am+bn）（bm+an）≥mn．

Answer 1

分析 （I）利用作差比較，結合已知條件即可證得結論；
（Ⅱ）展開多項式，結合基本不等式以及已知條件即可證得結論．

解答 證明：（Ⅰ）∵|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=（a²-1）（b²-1）．
∵|a|＞1，|b|＞1，∴a²-1＞0，b²-1＞0．
∴|1-ab|²-|a-b|²＞0，故有|1-ab|＞|a-b|；
（Ⅱ）（am+bn）（bm+an）=abm²+（a²+b²）mn+abn²
=（a²+b²）mn+ab（m²+n²）≥（a²+b²）mn+2abmn=mn（a²+2ab+b²）=mn（a+b）²，
∵a+b=1，
∴（am+bn）（bm+an）≥mn（a+b）²=mn．
∴（am+bn）（bm+an）≥mn．

點評 本題考查了不等式的證明，考查了基本不等式的應用，是中檔題．