Question

20．向量$\overrightarrow a=（1，1）$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的方向相反，則$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的取值范圍是（-∞，-2）．

Answer 1

分析 由題意，存在實數λ＞0使得$\overrightarrow{a}$=-λ•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），求得 $\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{-2（λ+1）}{λ}$=-2（1+$\frac{1}{λ}$），再結合λ＞0，求得它的范圍．

解答 解：向量$\overrightarrow a=（1，1）$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的方向相反，則存在實數λ＞0使得$\overrightarrow{a}$=-λ•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
即 $\overrightarrow{b}$=$\frac{-1-λ}{λ}$•$\overrightarrow{a}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{-2（λ+1）}{λ}$=-2（1+$\frac{1}{λ}$）．
又∵λ＞0，∴1+$\frac{1}{λ}$＞1，∴-2（1+$\frac{1}{λ}$）＜-2，即 $\overrightarrow a•\overrightarrow b$的取值范圍為（-∞，-2），
故答案為：（-∞，-2）．

點評 本題考查的知識點是平面向量的數量積運算及平行向量，兩個向量$\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{b}$方向相同，我們可以判斷存在實數λ＞0使得：$\overrightarrow{a}$=λ•$\overrightarrow{b}$，然后根據已知條件，將條件中的等量關系轉化為不等式，解不等式，即可求得答案，屬于中檔題．