Question

8．等比數列{a_n}中，已知對任意自然數$n，{a_1}+{a_2}+…+{a_n}={2^n}-1$，則$a_1^2+a_2^2+…+a_n^2$=$\frac{1}{3}（{4^n}-1）$．

Answer 1

分析 推導出${a}_{n}={2}^{n-1}$，從而${{a}_{n}}^{2}={2}^{2n-2}={4}^{n-1}$，由此能求出$a_1^2+a_2^2+…+a_n^2$的值．

解答 解：∵等比數列{a_n}中，對任意自然數$n，{a_1}+{a_2}+…+{a_n}={2^n}-1$，
∴a₁=2-1=1，
a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，n≥2，
n=1時，上式成立，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$，
∴${{a}_{n}}^{2}={2}^{2n-2}={4}^{n-1}$，
∴$a_1^2+a_2^2+…+a_n^2$=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
故答案為：$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）．

點評 本題考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審，注意等比數列的性質的合理運用．