Question

17．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．
（1）求證：AB₁⊥BC₁；
（2）求AB的中點E到平面AB₁C₁的距離．

Answer 1

分析 （1）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AB₁⊥BC₁．
（2）求出平面AB₁C₁的法向量和$\overrightarrow{AE}$，利用向量法能求出AB的中點E到平面AB₁C₁的距離．

解答 證明：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2，
∴以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0），B（0，2，0），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-2，2，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-2，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$$•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0-4+4=0，
∴AB₁⊥BC₁．
解：（2）AB的中點E（1，1，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-2，2，2），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{AE}$=（-1，1，0），
設平面AB₁C₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-2x+2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∴AB的中點E到平面AB₁C₁的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．