Question

13．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，過F₁斜率為1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{A{F_1}}=3\overrightarrow{{F_1}B}$．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)點(diǎn)P（0，-1），|PA|=|PB|，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-c，0），由|AF₁|=3|F₁B|知：y₁=-3y₂．l：x=y-c，代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出．
（2）由（1）c=b，3y²-2by-b²=0，設(shè)AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計算公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-c，0），
由|AF₁|=3|F₁B|知：y₁=-3y₂…①
l：x=y-c，代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{{2{b^2}c}}{{{a^2}+{b^2}}}$…②，${y_1}{y_2}=\frac{b^4}{{{a^2}+{b^2}}}$…③
由①②③得：$a=\sqrt{2}b$，故$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）由（1）c=b，3y²-2by-b²=0，
設(shè)AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則${y_0}=\frac{1}{2}（{y_1}+{y_2}）=\frac{b}{3}$，${x_0}={y_0}-c=-\frac{2b}{3}$．
又k_PM=-1，得$-1=\frac{{\frac{b}{3}+1}}{{-\frac{2b}{3}}}$，解得b=3，a²=18，
故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計算公式、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．