Question

11．如圖所示，拋物線C：x²=2py（p＞0），其焦點為F，C上的一點M（4，m）滿足|MF|=4．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）過點E（-1，0）作不經過原點的兩條直線EA，EB分別與拋物線C和圓F：x²+（y-2）²=4相切于點A，B，試判斷直線AB是否經過焦點F．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義可知：|MF|=m+$\frac{p}{2}$=4，及16=2pm，聯立即可求得p的值，求得拋物線C的標準方程；
（2）由題意設直線EA：x=ky-1，代入拋物線方程，根據△=0，求得斜率k，求得A點坐標，同理求得B點坐標，求得直線AB的方程，即可求得直線AB是否經過焦點FF（0，2）．

解答 解：（1）拋物線C的準線方程為$y=-\frac{p}{2}$，
∴|MF|=m+$\frac{p}{2}$=4，
由M（4，m）在橢圓上，
∴16=2pm，
∴p²-8p+16=0，解得p=4，
∴拋物線C的標準方程為x²=8y…（4分）
（2）設EA：x=ky-1，聯立$\left\{{\begin{array}{l}{x=ky-1}\\{{x^2}=8y}\end{array}}\right.$，消去x得：k²y²-（2k+8）y+1=0，
∵EA與C相切，
∴△=（2k+8）²-4k²=0，解得k=-2，
∴${y_A}=\frac{1}{2}，{x_A}=-2$，求得$A（{-2，\frac{1}{2}}）$，…（7分）
設EB：x=ty-1，聯立$\left\{{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{{x^2}+{{（{y-2}）}^2}=4}\end{array}}\right.$，消去x得：（t²+1）y²-（2t+4）y+1=0，
∵EB與圓F相切，
∴△=（2t+4）²-4（t²+1）=0，即$t=-\frac{3}{4}$，
∴${y_B}=\frac{4}{5}，{x_B}=-\frac{8}{5}$，求得$B（{-\frac{8}{5}，\frac{4}{5}}）$，…（10分）
∴直線AB的斜率${k_{AB}}=\frac{3}{4}$，
可得直線AB的方程為$y=\frac{3}{4}x+2$，經過焦點F（0，2）…（12分）

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，直線的方程，考查轉化思想，屬于中檔題．