Question

16．在平面直角坐標系xOy中，圓P：（x-1）²+y²=4，圓Q：（x+1）²+y²=4．
（1）以O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，求圓P和圓Q的極坐標方程，并求出這兩圓的交點M，N的極坐標；
（2）求這兩圓的公共弦MN的參數方程．

Answer 1

分析 （1）利用直角坐標與極坐標的互化，可得圓P和圓Q的極坐標方程，聯立求出這兩圓的交點M，N的極坐標；
（2）求出M，N的直角坐標，可得這兩圓的公共弦MN的參數方程．

解答 解：（1）圓P的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ=3，…（1分）
圓Q的極坐標方程為ρ²+2ρcosθ=3． …（2分）
聯立$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}-2ρcosθ=3，\;\;\\{ρ^2}+2ρcosθ=3，\;\;\end{array}\right.$
解得$ρ=\sqrt{3}$，cosθ=0，…（3分）
所以M，N的極坐標分別為$（{\sqrt{3}，\;\;\frac{π}{2}}）$，$（{\sqrt{3}，\;\;\frac{3}{2}π}）$．…（5分）
注：極坐標系下的點，表示方法不唯一．
（2）M，N的直角坐標分別為$（0，\;\;\sqrt{3}）$，$（0，\;\;-\sqrt{3}）$，…（7分）
所以公共弦MN的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=0，\;\;\\ y=t，\;\;\end{array}\right.t∈[-\sqrt{3}，\;\;\sqrt{3}]$．…（10分）

點評 本題以圓的方程為載體，考查極坐標方程，比較基礎．