Question

10．不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-2＞0①\\ 2{x^2}+（5+2a）x+5a＜0②\end{array}\right.$解集中的整數有且只有一個，則a的范圍（　　）

• A． [-2，2]
• B． [-3，2）
• C． [-3，2）∪（3，4]
• D． （3，4]

Answer 1

分析 解x²-x-2＞0得：x＜-1，或x＞2，解2x²+（5+2a）x+5a=0得：x=-$\frac{5}{2}$或x=-a，分類討論可得a的范圍．

解答 解：解x²-x-2＞0得：x＜-1，或x＞2，
解2x²+（5+2a）x+5a=0得：x=-$\frac{5}{2}$或x=-a，
若-a＜-$\frac{5}{2}$，則2x²+（5+2a）x+5a＜0的解集為：（-a，-$\frac{5}{2}$），此時不等式組的解集為：（-a，-$\frac{5}{2}$），-2∉（-a，-$\frac{5}{2}$），整數解就是-3∈（-a，-$\frac{5}{2}$），a∈（3，4]符合題意．若-a=-$\frac{5}{2}$，則2x²+（5+2a）x+5a＜0的解集為：∅，此時不等式組的解集為：∅，-2∉∅，不滿足條件；
若-a＞-$\frac{5}{2}$則2x²+（5+2a）x+5a＜0的解集為：（-$\frac{5}{2}$，-a），若不等式組解集中的整數有且只有-2，則-2＜-a≤3，
解得：a∈[-3，2），
故選：C．

點評 本題考查的知識點是二次不等式的解法，集合的交集運算，分類討論思想，屬于中檔題．