Question

19．已知函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），滿足條件：①f（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y），③當x＞1時，f（x）＞0．
（1）求證：函數f（x）是偶函數；       
（2）討論函數f（x）的單調性；
（3）求不等式f（x）+f（x+3）≤2的解集．

Answer 1

分析 （1）由條件先得到f（1）=0，再得到f（-1）=0，根據f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），可得f（x）是偶函數．
（2）任意取x₂＞x₁＞0，可得f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，由$f（{x_2}）=f（{x_1}•\frac{x_2}{x_1}）=f（{x_1}）+f（\frac{x_2}{x_1}）$，可得f（x₂）＞f（x₁），可得f（x）在（0，+∞）上是增函數，再利用函數為偶函數，得出結論．
（3）原不等式可轉化為f（x（x-3））≤f（4），可得|x（x-3）|≤4，解得x的范圍．

解答 解：（1）證明：函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
滿足條件：①f（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y），
由f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2），得f（1）=0．
由f（1）=f（[-1]×[-1]）=2f（-1）=0，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），∴f（x）是偶函數．
（2）根據當x＞1時，f（x）＞0，任意取x₂＞x₁＞0，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴$f（{x_2}）=f（{x_1}•\frac{x_2}{x_1}）=f（{x_1}）+f（\frac{x_2}{x_1}）$，∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）在（0，+∞）上是增函數．
又f（x）是偶函數，∴f（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，+∞）上是增函數．
（3）由f（x•y）=f（x）+f（y），得f（x）+f（x-3）=f（x（x-3））．
又f（4）=f（2×2）=2f（2）=2，∴原不等式可轉化為f（x（x-3））≤f（4）．
∵f（x）是偶函數，∴|x（x-3）|≤4，解得：-1≤x≤4，且x≠0，
∴不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集是[-1，0）∪（0，4]．

點評 本題主要考查抽象函數的應用，函數的奇偶性、單調性的判斷和應用，屬于中檔題．