Question

8．若函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{3}^{x}（x≤0）}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+a（x＞0）}\end{array}\right.$在定義域上恰有三個零點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． 0＜a＜$\frac{16}{3}$
• B． a＜$\frac{16}{3}$
• C． a＜0或a＞$\frac{16}{3}$
• D． a≤$\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 根據函數的單調性畫出函數的圖象，及題意其定義域R上有3個零點，函數f（x）在（-1，0）內有一個零點，在區間（0，+∞）上必須有2個零點，
 即可求出a的取值范圍．

解答 解：①當x≤0時，f（x）=x+3^x．
∵函數y=x與y=3^x在x≤0時都單調遞增，
∴函數f（x）=x+3^x在區間（-∞，0]上也單調遞增，又f（-1）=-$\frac{2}{3}＜0$，f（0）=1＞0，
所以函數f（x）在（-1，0）內有一個零點，如圖所示．
②當x＞0時，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+a..（x＞0）$，∴f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
當0＜x＜2時，f′（x）＜0；當x＞2時，f′（x）＞0．
∴函數f（x）在區間（0，2）上單調遞減；在區間（2，+∞）上單調遞增．
∴函數f（x）在x=2時求得極小值，也即在x＞0時的最小值．
∵函數f（x）在其定義域R上有3個零點，且由（1）可知在區間（-1，0）內已經有一個零點了，所以在區間（0，+∞）上必須有2個零點，
當a≤0時，函數f（x）在（0，+∞）上只有1個零點，
∴必須滿足a＞0且f（2）＜0，解得0＜a$＜\frac{16}{3}$
故選：A．

點評 本題考查函數零點判定定理，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題