Question

18．某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發芽數，得到如下資料：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
溫差x（℃）	10	11	13	12	8
發芽數y（顆）	23	25	30	26	16

該農科所確定的研究方案是：先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗．
（1）求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率．
（2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據，請根據12月2日至12月4日的數據，求出y關于x的線性回歸方程$\widehaty=bx+a$；假設由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？
附：參考公式：b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （1）求出抽到相鄰兩組數據的事件概率，利用對立事件的概率計算抽到不相鄰兩組數據的概率值；
（2）由表中數據，利用公式計算回歸直線方程的系數，寫出回歸直線方程，利用方程計算并判斷所得到的線性回歸方程是否可靠．

解答 解：（1）設抽到不相鄰兩組數據為事件A，因為從5組數據中選取2組數據共有10種情況，
每種情況都是等可能出現的，其中抽到相鄰兩組數據的情況有4種，
所以$P（A）=1-\frac{4}{10}=\frac{3}{5}$；
（2）由數據，求得$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（10+11+13+12+8）=10.8，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（23+25+30+26+16）=24；
由公式，求得
$\sum_{i=1}^{5}$（x_iy_i）=10×23+11×25+13×30+12×26+8×16=1335，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=10²+11²+13²+12²+8²=598；
所以$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{5}{2}$，
$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$=-3；
所以y關于x的線性回歸方程是$\overline y=\frac{5}{2}x-3$；
當x=10時，$\widehaty=\frac{5}{2}×10-3=22$，|22-23|＜2；
同樣，當x=8時，$\widehaty=\frac{5}{2}×8-3=17$，|17-16|＜2；
所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的．

點評 本題考查了等可能事件的概率與回歸直線方程的應用問題，也考查了計算能力的應用問題，是綜合性題目．