Question

3．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AA₁=2，AC=$\sqrt{5}$，BC=3，M，N分別為B₁C₁、AA₁的中點．
（1）求證：平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）求證：MN∥平面ABC₁，并求M到平面ABC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）根據線面垂直的判定定理，先證直線AB⊥平面AA₁C₁C，再根據面面垂直的判定定理，證得平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．
（2）根據面面平行的判定定理，先證平面MND∥平面ABC₁，再根據面面平行的性質定理，得出MN∥平面ABC₁，
求M到平面ABC₁的距離，則根據性質，等價轉化為求N到平面ABC₁的距離．作出點N作出平面ABC₁的垂線，并根據相似求出垂線段的長度．

解答 證明：（1）∵AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
又三棱柱中，有AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AB，
又 AC∩AA₁=A，
∴AB⊥平面AA₁C₁C，
∵AB?平面ABC₁，
∴平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．
（2）取BB₁中點D，∵M為B₁C₁中點，
∴MD∥BC₁（中位線），
又∵N為AA₁中點，四邊形ABB₁A₁為平行四邊形，
∴DN∥AB（中位線），
又MD∩DN=D，
∴平面MND∥平面ABC₁．
∵MN?平面MND，
∴MN∥平面ABC₁．
∴N到平面ABC₁的距離即為M到平面ABC₁的距離．
   過N作NH⊥AC₁于H，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，
∴NH⊥平面ABC₁，
   又根據△ANH∽△AC₁A₁
∴$NH=\frac{1}{2}×\frac{{A{A_1}×{A_1}{C_1}}}{{A{C_1}}}=\frac{1}{2}×\frac{{2×\sqrt{5}}}{3}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
∴點M到平面ABC₁的距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

點評 考查空間中點、線、面位置關系的判斷及證明，點面距離的求法（幾何法、等積法、向量法等），屬于中檔題．