Question

1．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）求異面直線A₁B與B₁C所成角的大小
（2）求證：BD₁⊥AC
（3）求直線BD₁與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連接A₁D，BD，說明∠DA₁B為異面直線A₁B與B₁C所成角，求解即可．
（2）證明AC⊥BD，DD₁⊥AC，推出AC⊥平面ABCD，即可證明AC⊥BD₁．
（3）判斷∠DBD₁為直線BD₁與平面ABCD所成角，求解即可．

解答 解：（1）連接A₁D，BD，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中  A₁B₁∥=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴A₁D∥B₁C------------（2分）
∴∠DA₁B為異面直線A₁B與B₁C所成角------------（3分）
∠DA₁B=$\frac{π}{3}$------------（4分）
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
底面ABCD為正方形∴AC⊥BD-------（5分）
∵$DD_1^{\;}$⊥平面ABCD∴DD₁⊥AC，DD₁∩BD=D，
∴AC⊥平面ABCD---------（7分）
∴AC⊥BD₁----------（8分）
（3）∠DBD₁為直線BD₁與平面ABCD所成角，-----（10分）
$tan∠DB{D_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．-------（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質定理的應用，直線與平面市場價的求法，考查計算能力．