Question

17．（1）判斷函數(shù)f（x）=-x²+4x-2在區(qū)間[0，3]的單調(diào)性以及最大值和最小值；
（2）已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x-1}$．
①求f（1+x）+f（1-x）的值；
②證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)（差分法）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸和開口方向判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最值；
（2）①代入解析式化簡即可；②根據(jù)函數(shù)增減性的定義判斷．

解答 解：（1）f（x）=-（x-2）²+2，
∴f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，在（2，3]上單調(diào)遞減，
∴f（x）的最大值為f（2）=2，
又f（0）=-2，f（3）=1，
∴f（x）的最小值為-2．
（2）①f（1+x）+f（1-x）=$\frac{1+x}{1+x-1}$+$\frac{1-x}{1-x-1}$=$\frac{1+x}{x}$-$\frac{1-x}{x}$=2．
②設(shè)x₁，x₂是（1，+∞）上的任意兩個(gè)數(shù)，且x₂＞x₁＞1，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}-1}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
∵x₂＞x₁＞1，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
又x₂＞x₁＞1，
∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．