Question

18．已知數列{a_n}的前n項和為s_n，且a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$S_n，（（n∈N^*），
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）當b_n=1+log${\;}_{\frac{3}{2}}$（3a_n+1）時，c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由條件a_n+1=$\frac{1}{2}$S_n，得n≥2時，${a}_{n}=\frac{1}{2}{S}_{n-1}$，兩式相減得${a}_{n+1}=\frac{3}{2}{a}_{n}（n≥2）$，又因為${a}_{2}≠\frac{3}{2}{a}_{1}$，所以數列{a_n}是從第二項起，以$\frac{3}{2}$為公比的等比數列，從而可求出通項公式；
（2）b_n=n+1，${c}_{n}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}$，采用裂項相消即可求出數列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由已知得：n$≥2\$時，a_n+1=$\frac{1}{2}$S_n，${a}_{n}=\frac{1}{2}{S}_{n-1}$，
兩式相減得：${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，即${a}_{n+1}=\frac{3}{2}{a}_{n}（n≥2）$，
又${a}_{2}=\frac{1}{2}{S}_{1}=\frac{1}{2}$，得${a}_{2}≠\frac{3}{2}{a}_{1}$，
所以數列{a_n}是從第二項起，以$\frac{3}{2}$為公比的等比數列，
故n=1時，a₁=1；n≥2時，${a}_{n}={a}_{2}•（\frac{3}{2}）^{n-2}$=$\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}$
即${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）由（1）知：${b}_{n}=1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3{a}_{n+1}$=$1+lo{g}_{\frac{3}{2}}（\frac{3}{2}）^{n}$=n+1，
所以  ${c}_{n}=\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
則  ${T}_{n}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2（n+2）}$．

點評 本題考查了遞推式的意義、等比數列的通項公式以及利用裂項相消求數列的前n項和．需注意的是在判斷數列的特征時要注意n的取值范圍．