Question

8．設S_n是等差數列{a_n}前n項和，若a₁=2，$\frac{{S}_{5}}{5}$-$\frac{{S}_{3}}{3}$=2，則數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前10項和T₁₀=（　�。�

• A． $\frac{8}{9}$
• B． $\frac{10}{11}$
• C． $\frac{11}{12}$
• D． $\frac{32}{33}$

Answer 1

分析 S_n是等差數列{a_n}前n項和，可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+$\frac{n-1}{2}$d=$\fracp9vv5xb5{2}$n+$（{a}_{1}-\fracp9vv5xb5{2}）$，$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$為等差數列．利用等差數列的通項公式可得：S_n，再利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：∵S_n是等差數列{a_n}前n項和，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+$\frac{n-1}{2}$d=$\fracp9vv5xb5{2}$n+$（{a}_{1}-\fracp9vv5xb5{2}）$，∴$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$為等差數列．
∵$\frac{{S}_{5}}{5}$-$\frac{{S}_{3}}{3}$=2，∴$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$的公差為$\frac{1}{2}×2$=1．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2+（n-1）=n+1．
∴S_n=n（n+1）．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
則數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前10項和T₁₀=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）$=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．
故選：B．

點評 本題考查了等差數列的通項公式性質及其求和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．