Question

13．定義在（0，+∞）上的單調函數f（x），?x∈（0，+∞），f（f（x）-x²）=2，則不等式f（x）＞7x-11的解集為（0，3）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 根據題意，f（x）-x²為定值，求出函數的解析式，再解不等式f（x）＞7x-11．

解答 解：根據題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-x²）]=2，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，
則f（x）-x²為定值，
設t=f（x）-x²，則f（x）=t+x²，
又由f（t）=2，可得t+t²=2，
可解得t=1，故f（x）=1+x²，
∴不等式f（x）＞7x-11可化為1+x²＞7x-11，
∴x²-7x+12＞0，
∴x＜3或x＞4，
∵x＞0，
∴0x＜3或x＞4，即不等式f（x）＞7x-11的解集為（0，3）∪（4，+∞）．
故答案為（0，3）∪（4，+∞）．

點評 本題考查解不等式，考查函數的單調性，確定f（x）-x²為定值，求出函數的解析式是關鍵．