Question

3．設A，B在圓x²+y²=1上運動，且|AB|=$\sqrt{3}$，點P在直線3x+4y-12=0上運動，則|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． $\frac{17}{5}$
• D． $\frac{19}{5}$

Answer 1

分析 設AB的中點為D，則由題意，$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{PO}$+2$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{PD}$，當且僅當O，D，P三點共線時，|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|取得最小值，此時OP⊥直線3x+4y-12=0，OP⊥AB．

解答 解：設AB的中點為D，則
由題意，$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{PO}$+2$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{PD}$，
∴當且僅當O，D，P三點共線時，|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|取得最小值，此時OP⊥直線3x+4y-12=0，OP⊥AB，
∵圓心到直線的距離為$\frac{12}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{12}{5}$，OD=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的最小值為2（$\frac{12}{5}$-$\frac{1}{2}$）=$\frac{19}{5}$．
故選D．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查點到直線的距離公式，正確轉化是關鍵．