Question

13．不等式（m+1）x²-mx+m-1＜0的解集為∅，則m的取值范圍（　　）

• A． m＜-1
• B． m≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． m≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． m≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 關于x的不等式（m+1）x²-mx+m-1＜0的解集為∅，可轉化成不等式（m+1）x²-mx+m-1≥0恒成立，然后討論二次項系數和判別式可得結論．

解答 解：∵關于x的不等式（m+1）x²-mx+m-1＜0的解集為∅，
∴不等式（m+1）x²-mx+m-1≥0恒成立，
①當m+1=0，即m=-1時，不等式化為x-2≥0，解得x≥2，不是對任意x∈R恒成立；
②當m+1≠0時，即m≠-1時，?x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1≥0，
即m+1＞0且△=（-m）²-4（m+1）（m-1）≤0，
化簡得：3m²≥4，解得m≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴應取m≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
綜上，實數m的取值范圍是m≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題主要考查了二次函數恒成立問題，即根據二次函數圖象開口方向和判別式的符號，列出等價條件求出對應的參數的范圍，是基礎題．