Question

2．已知函數f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+cx圖象都過點P（2，0）且在點P處有公切線，求
（1）f（x）和g（x）的表達式及公切線方程；
（2）若$F（x）=f'（1）lnx+\frac{g（x）}{16}$，求F（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據f（2）=0，g（2）=0，f'（2）=g'（2），得到關于a，b，c的方程組，解出即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（1）f'（x）=6x²+a，g'（x）=2bx+c，
依題意f（2）=0，g（2）=0，f'（2）=g'（2），
∴$\left\{\begin{array}{l}16+2a=0\\ 4b+2c=0\\ 24+a=4b+c\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}a=-8\\ b=8\\ c=-16\end{array}\right.$，
∴f（x）=2x³-8x，g（x）=8x²-16x．
公切線方程為y=16（x-2），即y=16x-32．
（2）$F（x）=-2lnx+\frac{1}{2}{x^2}-x（x＞0）$，
∴$F'（x）=-\frac{2}{x}+x-1$．
令$\left\{\begin{array}{l}F'（x）＞0\\ x＞0\end{array}\right.$得x＞2，
令$\left\{\begin{array}{l}F'（x）＜0\\ x＞0\end{array}\right.$得0＜x＜2，
∴F（x）的單調增區間為（2，+∞），單調減區間為（0，2）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及切線方程，求函數的解析式問題，是一道中檔題．