Question

7．已知函數f（x）=a-$\frac{|x|}$（x≠0）．
（1）若函數f（x）是（0，+∞）上的增函數，求實數b的取值范圍；
（2）當b=2時，若不等式f（x）＜x在區間（1，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數g（x）若存在區間[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]時，函數g（x）的值域也是[m，n]，則稱g（x）是[m，n]上的閉函數．若函數f（x）是某區間上的閉函數，試探求a，b應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）先去絕對值，然后設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，根據函數f（x）是（0，+∞）上的增函數，則f（x₁）＜f（x₂），建立關系式，化簡整理可求出b的取值范圍；
（2）若不等式f（x）＜x在區間（1，+∞）上恒成立，可轉化成a＜x+$\frac{2}{x}$在（1，+∞）上恒成立，求出不等式右邊的最小值即，使得a小于此最小值即可；
（3）設f（x）是區間[m，n]上的閉函數，則mn＞0且b≠0，討論m與n同正與同負兩種情形，以及討論b的正負，根據函數的單調性建立關系式，即可求出a與b滿足的條件．

解答 解：（1）當x∈（0，+∞）時，f（x）=a-$\frac{x}$，
設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，由f（x）是（0，+∞）上的增函數，
則f（x₁）＜f（x₂）（2分）
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{b{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，
由x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞）知x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
所以b＞0，即b∈（0，+∞）；
（2）當b=2時，f（x）=a-$\frac{2}{|x|}$＜x在x∈（1，+∞）上恒成立，即a＜x+$\frac{2}{x}$，
因為x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2}$，當x=$\frac{2}{x}$即x=$\sqrt{2}$時取等號，$\sqrt{2}$∈（1，+∞），
所以x+$\frac{2}{x}$在x∈（1，+∞）上的最小值為2$\sqrt{2}$，
則a＜2$\sqrt{2}$；
（3）因為f（x）=a-$\frac{|x|}$的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），
設f（x）是區間[m，n]上的閉函數，則mn＞0且b≠0（11分）
①若0＜m＜n，
當b＞0時，f（x）=a-$\frac{|x|}$是（0，+∞）上的增函數，
則 $\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，所以方程a-$\frac{x}$=x在（0，+∞）上有兩不等實根，
即x²-ax+b=0在（0，+∞）上有兩不等實根，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4b＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=a＞0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=b＞0}\end{array}\right.$，即a＞0，b＞0且a²-4b＞0，
當b＜0時，f（x）=a-$\frac{|x|}$=a+$\frac{-b}{x}$在（0，+∞）上遞減，
則 $\left\{\begin{array}{l}{f（m）=n}\\{f（n）=m}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{m}=n}\\{a-\frac{n}=m}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{mn=-b}\end{array}\right.$，
所以a=0，b＜0，
②若m＜n＜0
當b＞0時，f（x）=a-$\frac{|x|}$=a+$\frac{x}$是（-∞，0）上的減函數，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{f（m）=n}\\{f（n）=m}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{m}=n}\\{a+\frac{n}=m}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{mn=b}\end{array}\right.$，
所以a=0，b＞0，
當b＜0，f（x）=a-$\frac{|x|}$=a+$\frac{x}$是（-∞，0）上的增函數，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，所以方程a+$\frac{x}$=x在（-∞，0）上有兩不等實根，
即x²+ax-b=0在（-∞，0）上有兩不等實根，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+4b＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=a＜0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=-b＞0}\end{array}\right.$，即a＜0，b＜0且a²+4b＞0，
綜上知：a=0，b≠0或a＜0，b＜0
且a²+4b＞0或a＞0，b＞0且a²-4b＞0．
即：a=0，b≠0或ab＞0且a²-4|b|＞0

點評 本題主要考查了函數的單調性，以及函數恒成立和函數的值域，是一道綜合題，有一定的難度．