A. | $\frac{{e-\sqrt{{e^2}-1}}}{e}$ | B. | $\frac{{2\sqrt{{e^2}+1}-e}}{2e}$ | C. | $\frac{{\sqrt{{e^2}+1}-e}}{2e}$ | D. | $e+\frac{1}{e}-\frac{1}{2}$ |
分析 由圓的對稱性可得只需考慮圓心C(e+$\frac{1}{e}$,0)到函數f(x)=lnx圖象上一點的距離的最小值.設f(x)圖象上一點P(m,lnm),求得切線的斜率,由兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,可得lnm+m2-(e+$\frac{1}{e}$)m=0,由g(x)=lnx+x2-(e+$\frac{1}{e}$)x,求出導數,判斷單調性,可得零點e,運用兩點的距離公式計算即可得到所求值
解答 解:由圓的對稱性可得只需考慮圓心C(e+$\frac{1}{e}$,0)到函數f(x)=lnx圖象上一點的距離的最小值.
設f(x)圖象上一點(m,lnm),
由f(x)的導數為f′(x)=$\frac{1}{x}$,即有切線的斜率為k=$\frac{1}{m}$,
可得$\frac{lnm-0}{m-(e+\frac{1}{e})}$=-m,
即有lnm+m2-(e+$\frac{1}{e}$)m=0,
由g(x)=lnx+x2-(e+$\frac{1}{e}$)x,可得g′(x)=$\frac{1}{x}$+2x-(e+$\frac{1}{e}$),
當2<x<3時,g′(x)>0,g(x)遞增.
又g(e)=lne+e2-(e+$\frac{1}{e}$)•e=0,
可得x=e處點P(e,1)到點Q的距離最小,且為$\sqrt{1+\frac{1}{{e}^{2}}}$,
則線段PQ的長度的最小值為$\sqrt{1+\frac{1}{{e}^{2}}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2\sqrt{{e}^{2}+1}-e}{2e}$.
故選:B.
點評 本題考查導數的運用:求切線的斜率和單調性,考查圓的對稱性和兩點的距離公式,考查運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{5π}{2}$ | B. | $\frac{5π}{4}$ | C. | $\frac{3+π}{2}$ | D. | 3+π |
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A. | $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$ | B. | $2\sqrt{3}$ | C. | $4\sqrt{3}$ | D. | $\frac{8}{3}$ |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $y=x+\frac{4}{x}$ | B. | $y=sinx+\frac{4}{sinx}(0<x<π)$ | ||
C. | y=4log3x+logx3 | D. | y=4ex+e-x |
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