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17.已知點P為函數f(x)=lnx的圖象上任意一點,點Q為圓${[{x-(e+\frac{1}{e})}]^2}+{y^2}=\frac{1}{4}$上任意一點,則線段PQ長度的最小值為(  )
A.$\frac{{e-\sqrt{{e^2}-1}}}{e}$B.$\frac{{2\sqrt{{e^2}+1}-e}}{2e}$C.$\frac{{\sqrt{{e^2}+1}-e}}{2e}$D.$e+\frac{1}{e}-\frac{1}{2}$

分析 由圓的對稱性可得只需考慮圓心C(e+$\frac{1}{e}$,0)到函數f(x)=lnx圖象上一點的距離的最小值.設f(x)圖象上一點P(m,lnm),求得切線的斜率,由兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,可得lnm+m2-(e+$\frac{1}{e}$)m=0,由g(x)=lnx+x2-(e+$\frac{1}{e}$)x,求出導數,判斷單調性,可得零點e,運用兩點的距離公式計算即可得到所求值

解答 解:由圓的對稱性可得只需考慮圓心C(e+$\frac{1}{e}$,0)到函數f(x)=lnx圖象上一點的距離的最小值.
設f(x)圖象上一點(m,lnm),
由f(x)的導數為f′(x)=$\frac{1}{x}$,即有切線的斜率為k=$\frac{1}{m}$,
可得$\frac{lnm-0}{m-(e+\frac{1}{e})}$=-m,
即有lnm+m2-(e+$\frac{1}{e}$)m=0,
由g(x)=lnx+x2-(e+$\frac{1}{e}$)x,可得g′(x)=$\frac{1}{x}$+2x-(e+$\frac{1}{e}$),
當2<x<3時,g′(x)>0,g(x)遞增.
又g(e)=lne+e2-(e+$\frac{1}{e}$)•e=0,
可得x=e處點P(e,1)到點Q的距離最小,且為$\sqrt{1+\frac{1}{{e}^{2}}}$,
則線段PQ的長度的最小值為$\sqrt{1+\frac{1}{{e}^{2}}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2\sqrt{{e}^{2}+1}-e}{2e}$.
故選:B.

點評 本題考查導數的運用:求切線的斜率和單調性,考查圓的對稱性和兩點的距離公式,考查運算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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