Question

7．己知三棱錐A-BCO，OA，OB，OC兩兩垂直且長度均為6，長為2的線段MN的一個端點M在棱OA上運動，另一個端點N在底面BCO內運動（含邊界），則MN的中點P的軌跡與三棱錐的O點所在的三個面所圍成的幾何體的表面積為（　　）

• A． $\frac{5π}{2}$
• B． $\frac{5π}{4}$
• C． $\frac{3+π}{2}$
• D． 3+π

Answer 1

分析 由于長為2的線段MN的一個端點M在棱OA上運動，另一個端點N在△BCO內運動（含邊界），有空間想象能力可知MN的中點P的軌跡為以O為球心，以1為半徑的球體，即MN的中點P的軌跡與三棱錐的O點所在的三個面所圍成的幾何體為該球體的$\frac{1}{8}$，進而利用圓的面積公式及球體的表面積公式即可計算得解．

解答 解：因為長為2的線段MN的一個端點M在棱OA上運動，另一個端點N在△BCO內運動（含邊界），
由空間想象能力可知MN的中點P的軌跡為以O為球心，以1為半徑的球體，
則MN的中點P的軌跡與三棱錐的O點所在的三個面所圍成的幾何體為該球體的$\frac{1}{8}$，
即：S=$\frac{1}{8}×4π×{1}^{2}$+$\frac{1}{4}$π×1²×3=$\frac{5π}{4}$．
故選：B．

點評 此題考查了學生的空間想象能力，還考查了球體，三棱錐的面積公式的應用，考查了計算能力，屬于中檔題．