Question

5．已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數），x∈R，$F（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x）（x＞0）\\-f（x）（x＜0）\end{array}\right.$
（1）若f（-1）=0，且函數f（x）的值域為[0，+∞），求F（x）的表達式；
（2）設n＜0＜m，m+n＞0，a＞0且f（x）為偶函數，試判斷函數值：F（m）+F（n）的正負．

Answer 1

分析 （1）f（-1）=0得出a，b的關系，再根據f（x）有最小值0列方程解出a，b即可得出F（x）；
（2）由偶函數可得b=0，寫出F（m）+F（n）關于a，m，n的表達式，由m＞-n＞0，a＞0即可判斷結論．

解答 解：（1）∵f（-1）=0，∴a-b+1=0，即a=b-1，
∵f（x）的值域為[0，+∞），∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{^{2}-4a=0}\end{array}\right.$，
∴b²-4（b-1）=0，解得b=2，a=1，
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+1，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x-1，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）∵f（x）是偶函數，∴f（x）=ax²+1，∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x＞0}\\{-a{x}^{2}-1，x＜0}\end{array}\right.$，
∵n＜0＜m，∴F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²），
∵n＜0＜m，m+n＞0，a＞0，
∴m²＞n²，∴a（m²-n²）＞0．
∴F（m）+F（n）＞0．

點評 本題考查了二次函數的性質，函數對稱性的應用，屬于中檔題．