Question

12．已知函數f（x）=2ax-$\frac{b}{x}$+4lnx在x=1與$x=\frac{1}{3}$處都取得極值．
（1）求a、b的值；
（2）若對x∈[$\frac{1}{e}$，e]時，f（x）≥c恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到關于a，b的方程組，求出a，b的值即可；（2）求出函數的導數，根據函數的單調性求出f（x）的最小值，求出c的范圍即可．

解答 解：（1）$f'（x）=2a+\frac{b}{x^2}+\frac{4}{x}$$f（x）=2ax-\frac{b}{x}+4lnx$，
在$x=1與x=\frac{1}{3}$處都取得極值，
$\begin{array}{l}f'（1）=0，f'（\frac{1}{3}）=0\\∴\left\{\begin{array}{l}2a+b+4=0\\ 2a+9b+12=0\end{array}\right.\end{array}$，
解得：a=-$\frac{3}{2}$，b=-1； 經檢驗符合題意；
（2）由（1）可知，$f（x）=-3x+\frac{1}{x}+4lnx$，
$f'（x）=-3-\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}=-\frac{（3x-1）（x-1）}{x^2}$，
由f'（x）＞0，得f（x）的單調增區間為[$\frac{1}{3}$，1]，
由f'（x）＜0，得f（x）的單調減區間為$（0，\frac{1}{3}]和[1，+∞）$，
∴x=1是f（x）的極大值點   當$x∈[\frac{1}{e}，e]$時，$f（\frac{1}{e}）$=e-$\frac{3}{e}$-5，f（e）=-3e+$\frac{1}{e}$+4，
而$f（\frac{1}{e}）$-f（e）=4e-9-$\frac{4}{e}$＞0，所以$f（\frac{1}{e}）$＞f（e），
即f（x）在$x∈[\frac{1}{e}，e]$上的最小值為$\frac{1}{e}$+4-3e，
要使對$x∈[\frac{1}{e}，e]$時，f（x）≥c恒成立，
故$c≤f{（x）_{min}}=\frac{1}{e}+4-3e$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．