Question

10．小王大學畢業后決定利用所學知識自主創業，在一塊矩形的空地上辦起了養殖場，如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AB=200米，AD=200$\sqrt{3}$米，現為了養殖需要，在養殖場內要建造蓄水池，小王因地制宜，建造了一個三角形形狀的蓄水池，其中頂點分別為A，E，F（E，F兩點在線段BD上），且∠EAF=$\frac{π}{6}$，設∠BAE=α．
（1）請將蓄水池的面積f（α）表示為關于角α的函數形式，并寫出角α的定義域；
（2）當角α為何值時，蓄水池的面積最大？并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）先求出α的范圍，再分別根據正弦定理得到AE，AF，再根據三角形的面積公式即可表示出f（α），
（2）根據正弦函數的圖象和性質即可求出最值．

解答 解：（1）∵∠BCD=$\frac{π}{2}$，∠EAF=$\frac{π}{6}$，設∠BAE=α∈[0，$\frac{π}{3}$]，
在△ABD中，AD=200米，AD=200$\sqrt{3}$米，∠BCD=$\frac{π}{2}$，
∴∠ABD=$\frac{π}{3}$，
在△ABF中，∠AFB=π-∠ABF-∠BAF=π-$\frac{π}{3}$-（$\frac{π}{6}$+α）=$\frac{π}{2}$-α，
由正弦定理得：$\frac{AF}{sin∠ABF}$=$\frac{AB}{sin∠AFB}$=$\frac{AB}{sin（\frac{π}{2}-α）}$=$\frac{AB}{cosα}$，
∴AF=$\frac{100\sqrt{3}}{cosα}$，
在△ABE中，由正弦定理得：$\frac{AE}{sin∠ABE}$=$\frac{AB}{sin∠AEB}$=$\frac{AB}{sin（\frac{π}{3}+α）}$，
∴AE=$\frac{100\sqrt{3}}{sin（\frac{π}{3}+α）}$，
則△AEF的面積S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF•sin∠EAF=$\frac{7500}{sin（\frac{π}{3}+α）cosα}$=$\frac{3000}{2sin（2α+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}}$，α∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴f（α）=$\frac{3000}{2sin（2α+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}}$，α∈[0，$\frac{π}{3}$]，
（2）∵α∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴（2α+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{π}{3}$，π]．
∴0≤sin（2α+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴2sin（2α+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$的最小值為$\sqrt{3}$，
∴當α=$\frac{π}{3}$時，f（α）_max=1000$\sqrt{3}$

點評 本題考查了正弦定理和以及三角形的面積公式和正弦函數的圖象和性質，考查了學生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題