Question

2．斜率是1的直線與橢圓${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$交于A、B兩點，P為線段AB上的點，且AP=2PB，則點P的軌跡方程是148x²+13y²+64xy-20=0（在橢圓內）．

Answer 1

分析 設直線l的方程，代入橢圓方程，由x₁，x₂是方的兩個根，分別求得x₁，x₂，由AP=2PB，求得x′=$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，代入即可即可求得P的軌跡方程．

解答 解：設動點為P（x′，y′），則過y=x+（y′-x′）$\left\{\begin{array}{l}{y=x+（y′-x′）}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²+2（y′-x′）x+（y′-x′）²-4=0，（※）
若直線l橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，則x₁，x₂是方程（※）的兩個根，且
x₁=$\frac{-（y′-x′）-2\sqrt{5-（y′-x′）^{2}}}{5}$，①
x₂=$\frac{-（y′-x′）+2\sqrt{5-（y′-x′）^{2}}}{5}$，②
由AP=2PB，x₁＜x₂，則x′=$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，
代入整理得：4x′+y′=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5-（y′-x′）^{2}}$，丨y′-x′丨＜$\sqrt{5}$，
兩邊同時平方：148x′²+13y′²+64x′y′-20=0，
∴點P的軌跡方程148x²+13y²+64xy-20=0（在橢圓內）．
故答案為：148x²+13y²+64xy-20=0（在橢圓內）．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，軌跡方程求法，考查計算能力，屬于中檔題．