Question

11．探究函數$f（x）=2x+\frac{8}{x}，x∈（0，+∞）$的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	16	10	8.34	8.1	8.01	8	8.01	8.04	8.08	8.6	10	11.6	15.14	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數$f（x）=2x+\frac{8}{x}（x＞0）$在區間（0，2）上遞減；函數$f（x）=2x+\frac{8}{x}（x＞0）$在區間（2，+∞）上遞增．當x=2時，y_最小=8．
（2）證明：函數$f（x）=2x+\frac{8}{x}（x＞0）$在區間（0，2）遞減．
（3）思考：函數y=2x+$\frac{8}{x}$時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，可得當且僅當x=2時，函數f（x）的最小值為8．由此可得函數在（0，+∞）上的單調增區間，得到答案；
（2）設x₁、x₂∈（0，2）且x₁＜x₂，利用作差、因式分解、判斷符號的方法加以證明可得f（x₁）＞f（x₂），結合函數單調性的定義，可得函數在（0，2）上為減函數；
（3）根據函數在（0，+∞）上的單調性與最值，結合函數在{x|x≠0}上為奇函數，即可得到當x＜0時函數有最大值為-8．

解答 解：（1）∵x＞0，∴2x+$\frac{8}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{8}{x}}$=8
當且僅當x=2時，函數f（x）的最小值為8
由此可得函數在區間（0，2）上遞減；在區間（2，+∞）上遞增
故答案為：（2，+∞），2，8．
（2）證明：設x₁，x₂是區間，（0，2）上的任意兩個數，且x₁＜x₂，
∴$f（{x_1}）-f（{x_2}）=2{x_1}+\frac{8}{x_1}-（2{x_2}+\frac{8}{x_2}）=2（{{x_1}-{x_2}}）+\frac{8}{x_1}-\frac{8}{x_2}=2（{x_1}-{x_2}）（1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}）$
=$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-4）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
又∵x₁，x₂∈（0，2），
∴0＜x₁x₂＜4，
∴x₁x₂-4＜0，
∴y₁-y₂＞0，
∴函數在（0，2）上為減函數．
（3）根據函數f（x）=2x+$\frac{8}{x}$在{x|x≠0}上為奇函數，且在（0，+∞）上有最小值8，可得如下結論：
函數y=2x+$\frac{8}{x}$=2（x+$\frac{4}{x}$），當x＜0時，有最大值．當x=-2時，y_max=-8．

點評 本題給出雙曲型函數，求函數的單調區間與最值．著重考查了基本不等式求最值、用定義證明函數的單調性等知識，屬于中檔題．