Question

16．已知函數f（x）=e^x-ax-1，（a為實數），g（x）=lnx-x
（1）討論函數f（x）的單調區間；
（2）求函數g（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可．

解答 解：（1）由題意得f'（x）=e^x-a，
當a≤0時，f'（x）＞0恒成立，函數f（x）在R上單調遞增，
當a＞0時，由f'（x）＞0可得x＞lna，由f'（x）＜0可得x＜lna．
故函數f（x）在（lna，+∞）上單調遞增，在（-∞，lna）上單調遞減．
（2）函數g（x）的定義域為$（{0，+∞}），g'（x）=\frac{1}{x}-1$．
由g'（x）＞0可得0＜x＜1；由g'（x）＜0可得x＞1．
所以函數g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
故函數g（x）在x=1取得極大值，其極大值為ln1-1=-1．

點評 本題考查了函數的單調性，極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．