Question

5．已知角α，β滿足$\frac{tanα}{tanβ}=2$，若$sin（{α+β}）=\frac{1}{3}$，則sin（α-β）的值為$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 由題意利用同角三角函數的基本關系求得sinαcosβ=2cosαsinβ，再根據已知及兩角和的正弦函數公式可求cosαsinβ的值，可求sinαcosβ的值，利用兩角差的正弦公式求得sin（α-β）的值．

解答 解：∵$\frac{tanα}{tanβ}=2$，即sinαcosβ=2cosαsinβ．
∵$sin（{α+β}）=\frac{1}{3}$=sinαcosβ+cosαsinβ，可得：3cosαsinβ=$\frac{1}{3}$，
∴cosαsinβ=$\frac{1}{9}$，可求sinαcosβ=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{9}$=$\frac{2}{9}$，
則sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{2}{9}$-$\frac{1}{9}$=$\frac{1}{9}$．
故答案為：$\frac{1}{9}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角差的正弦公式的應用，屬于基礎題．