Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），x∈R，設函數f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ） 求f （x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f （x） 在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量數量積的運算，求解f（x），將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期．
（Ⅱ）x在[0，$\frac{π}{2}$]上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值，

解答 解：（Ⅰ）由題意：函數f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x$-\frac{π}{6}$）．
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
所以函數f（x）最小正周期為：π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）．
x在[0，$\frac{π}{2}$]上時，則（2x$-\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
根據正弦函數的圖象和性質可知：
當（2x$-\frac{π}{6}$）=$-\frac{π}{6}$時，函數f（x）取得最小值為：$-\frac{1}{2}$；
當（2x$-\frac{π}{6}$）=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為：1．
所以，f （x） 在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值分別為：1，$-\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．