Question

9．對于函數f（x）定義域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）有如下結論
（1）f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂）        
（2）f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（3）$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0              
（4）f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
（5）f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$     
（6）f（-x）=f（x）．
當f（x）=lgx時，上述結論正確的序號為（2）（3）（5）．（注：把你認為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

分析 利用對數的基本運算性質進行檢驗：（1）f（x₁+x₂）=lg（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂）=lgx₁•lgx₂，
（2）f（x₁•x₂）=lgx₁x₂=lgx₁+lgx₂=f（x₁）+f（x₂），（3）f（x）=lgx在（0，+∞）單調遞增，可得 $\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0
（4）（5）f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=lg（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{lg{x}_{1}+lg{x}_{2}}{2}$，由基本不等式可得結果．
（6）利用函數的奇偶性判斷即可．

解答 解：（1）f（x₁+x₂）=lg（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂）=lgx₁•lgx₂
所以（1）不正確；
（2）f（x₁•x₂）=lgx₁x₂=lgx₁+lgx₂=f（x₁）+f（x₂）所以（2）正確；
（3）f（x）=lgx在（0，+∞）單調遞增，則對任意的0＜x₁＜x₂，d都有f（x₁）＜f（x₂）
即$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，所以（3）正確．
（4）f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=lg（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{lg{x}_{1}+lg{x}_{2}}{2}$=$\frac{lg（{x}_{1}{x}_{2}）}{2}$
∵$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$≥$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$∴lg$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$≥lg$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$lg（x₁x₂），所以（4）不正確；（5）正確；
（6）f（x）=lgx函數不是偶函數，所以（6）不正確．
故答案為：（2）（3）（5）．

點評 本題主要考查了對數的基本運算性質，對數函數單調 性的應用，基本不等式的應用，屬于知識的簡單綜合應用．