Question

17．已知p：?x∈R，cos2x-sinx+2≤m；q：函數$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^{2{x^2}-mx+2}}$在[1，+∞）上單調遞減．
（ I）若p∧q為真命題，求m的取值范圍；
（ II）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q為真時，m的取值范圍，
（ I）若p∧q為真命題，求兩個范圍的交集即可得到m的取值范圍；
（ II）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q一真一假，進而可得m的取值范圍．

解答 解：若p為真，
令f（x）=cos2x-sinx+2，則m≥f（x）_min，
又f（x）=cos2x-sinx+2=cos2x-sinx+2=-2sin²x-sinx+3
又-1≤sinx≤1，
所以sinx=1時，
f（x）_min=0，
所以m≥0…（5分）
若q為真：
函數$y={（{\frac{1}{3}}）^{2{x^2}-mx+2}}$在[1，+∞）上單調遞減，
則$\frac{m}{4}≤1$，
所以m≤4…（6分）
（1）若p∧q為真，則p，q均為真，所以m∈[0，4]…（8分）
（2）若p∨q為真，p∧q為假，則p，q一真一假，即$\left\{{\begin{array}{l}{m≥0}\\{m＞4}\end{array}}\right.$即m＞4…（10分）
或$\left\{{\begin{array}{l}{m＜0}\\{m≤4}\end{array}}\right.$即m＜0
所以m的取值范圍為（-∞，0）∪（4，+∞）…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，恒成立問題，指數函數的單調性等知識點，難度中檔．